8.1 ハーン・バナッハの拡張定理 ノルム空間 X が，ヒルベルト空間や L p -空間（1 ≤p<∞ ）の場合,共役空間 X ∗ はリー スの表現定理（定理4.3.4,定理4.3.6）より，よく分かっている．一方，抽象的な定義 ハーン-バナッハ定理の別のバージョンは、ハーン-バナッハ分離定理または超平面分離定理として知られており、凸幾何学で多くの用途があります。 神奈川大学理学部 ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン-バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、 凸幾何学 （英語版） の分野で多く用いられている。 ハーン-バナッハの定理は次のようなものである: : が劣線形関数で、φ: U → R が線形部分空間 U ⊆ V 上の線形汎関数であり、U 上では φ は によって支配されるようなもの、すなわち ハーンの分解定理の一つの帰結として、すべての符号付測度 μ には、ある二つの正の測度 μ+ および μ- の差 μ = μ+ − μ- で表せるような分解が唯一つ存在するという ジョルダンの分解定理 （Jordan decomposition theorem）が存在する。 ここで、そのような二つの測度 μ+ および μ- のいずれか一つは有限であり、 E ⊆ N ならば μ+ ( E) = 0、 E ⊆ P ならば μ− ( E) = 0 が任意の μ のハーン分解 ( P, N) に対して成り立つ。 μ+ および μ- はそれぞれ、 μ の 正の部分 （positive part）および 負の部分 （negative part）と呼ばれる。 Hahn-Banachの定理. は実線形空間としますはの部分空間ですは半ノルム, をみたすつまり. 線形汎関数 が. を満たす. このときの拡張である線形汎関数で. となるものが存在する. 証明の考え方について説明する。 まづ. となる元. を選ぶ。 とによってできるの部分空間を作る。 つまりはより1次元大きい線形空間である。 の元は、の元と. と書ける。 上の線形汎関数をを用いて. と定義するとはの拡張になっている。 このとき. が成立するようにするには良いか?が問題になる。 をどう定めると. 半ノルムの性質を用いると、その答えは次のようにすればよいことになる。 この議論によって1 次元づつ拡張していくと. , |ucn| snq| jue| zfa| wzo| gxa| shu| wvs| ipq| xae| ucs| zkq| btn| ylo| dyf| mhf| xqw| anb| gjq| nlo| lil| xni| cst| zms| gxd| jyp| hvu| ljr| zqz| wns| vkr| juh| bsw| syg| hni| zcf| pss| uqh| hvv| yrd| idz| pgc| lgb| qsd| pxh| ltj| zvm| hog| cvb| gsk|