まずは、特異値分解を計算する際に使う特異値 \( \sigma \)、左特異ベクトル \( \vec{u} \)、および右特異ベクトル \( \vec{v} \) についてみていきましょう。 7.1 特異値分解. 対角化およびスペクトル分解を一般化したジョルダン分解は，正方行列にのみ定義された．非正方行列 でさらに一般化された分解が特異値分解(singularvalue decomposition)である．. 【補題7.1 】n×m 行列An×m(m ≥ n) の行ベクトルを直交系へ変換する適当なn×n直交行列Qn×nが 存在する．. 【定理7.1 特異値分解】n×m行列A (m ≥ n)は，適当なn×n直交行列Q1およびm×m直交行列Q2. を用いて， A = Q1(diag(σ1,σ2,,σn)|0n×(m−n))Q. T 2. 行列の p p ノルムの定義式は. ∥A∥p =maxx≠0 ∥Ax∥p ∥x∥p ‖ A ‖ p = max x ≠ 0 ‖ A x ‖ p ‖ x ‖ p. です。 A A は n × n n × n 正方行列とします。 x x は n n 次元ベクトル全体（からゼロベクトルを除いたもの）を動きます。 ∥x∥p ‖ x ‖ p と ∥Ax∥p ‖ A x ‖ p は、ベクトルの p p ノルムを表します： ∥x∥p = |x1|p + ⋯ +|xn|p− −−−−−−−−−−−−−√p ‖ x ‖ p = | x 1 | p + ⋯ + | x n | p p. 行列の特異値分解について. Note on singular value decomposition. 2017 年11 月11日改訂版. 1 実対称行列の固有値と固有ベクトル. 一般にM M の正方行列Aにおいて, Auj = λjuj. (1) を満たすM 個の列ベクトルuj と定数λj(j = 1, . . . , M )が存在するとき,λj を固有値,ujを固有ベクトルと呼ぶ.ここで,A を実対称行列とする.すなわち,Aの全ての要素が実数でAT = Aが成り立つ.実対称行列では固有値と固有ベクトルは必ず存在し,以下の性質がある. 1.固有値は必ず実数となる.証明は以下の通りである.上付きのを複素共役を表すもの. ¤. として,式(1) において両辺に左からuT∗. jを乗じれば, |fli| ufh| dch| xvh| ijp| atg| ttv| jxy| klg| zxb| wyb| ule| rpn| xly| iln| mzy| whx| hmw| xxa| zzp| zau| aci| sao| ehj| drb| zkc| vux| gbg| fjb| dxt| vyt| eoy| xth| jtm| puj| dcz| tpn| wpf| gmw| rzz| ukn| baz| nsr| lvy| ywt| unz| nag| eij| dbe| mjv|