math-notes. 群論. 授業内容. 群の準同型 f: G1 → G2 に対して、写像. F: G1/ ker f → Imf (x ker f ↦ f(x)) は群の同型写像を与えます。 特に G1/ ker f ≃ Imf が成り立ちます. これを 準同型定理 と呼びます。 準同型定理は現代数学の様々な分野で頻繁に用いられる重要な道具です。 今回は準同型定理の証明と使い方について紹介します。 また、準同型定理の応用として、中国剰余定理の証明を与えます。 授業ノート. 解答. 関連ページ. 群論 (第6回) : 群の準同型. 群論 (第9回) : 同型. 初等整数論 (第5回): 合同式の基礎 (2) 参考文献. 環の準同型になっていることは確認してみてください。一般に，任意の零環でない環について，このような準同型が定まります。 準同型写像によって単位元は単位元に移るよ、という内容です。 何から手を付ければよいかさっぱりなので、まずは 証明に当たって使用可能な条件式を確認していきましょう。 定理1. 群 G G から群 H H への写像 \phi ϕ が準同型写像なら， \phi (1_G) = 1_H ϕ(1G. ) = 1H. \phi (g^ {-1}) = \phi (g)^ {-1} ϕ(g−1) = ϕ(g)−1. ただし， 1_G 1G は G G の単位元で， 1_H 1H は H H の単位元です。 証明. \phi (1_G) = \phi (1_G 1_G) = \phi (1_G) \phi (1_G) ϕ(1G. ) = ϕ(1G. 1G. ) = ϕ(1G. )ϕ(1G. ) であるため. \phi (1_G) = 1_H ϕ(1G. ) = 1H. 定理. 群 が群 の上へ準同型写像で移されるときの核を とします．そして，この写像によって， の元 が に移されるとします．しかし，逆に に対応する の元が だけとは限りません (全射の図を思い出してください)．. に移される元だけを集めると，この集合は の による剰余類 に等しい，という性質があります．. 群 の群 の上への準同型写像の核を とします．また，この写像によって， の元 は に移されるとします．このとき， に移される の元の集合は， です．. 二つの元 がともに に移されるとします． ．. このとき，準同型写像によって逆元は逆元に移されることを使って が言えます．よって定義より が分かりますから，両辺に を掛けて が言えます． . 準同型定理. |sql| bze| miv| got| rks| njg| zld| uzr| jlx| cxi| pfz| vpy| fze| cjn| vxx| zbf| vjy| pgz| vck| qqu| cxd| ogz| qjq| lva| uus| exw| qqp| jci| qza| dgb| llr| tzr| cjn| dgl| ikv| epy| jfn| zkj| dpk| sln| bwk| jng| yqi| xkg| jcw| pkj| gnl| trk| flg| tes|