解析学で非常に重要な「テイラー級数」。その基になっているのが「テイラーの定理」です。剰余項を含め、定理の内容を具体例からわかりやすく解説し、証明へと進みます。 関数 の点 周りでのテイラー展開を考えたとき， が点 を含むある開区間でテイラー展開可能ならば，つまり，剰余項 が 0 に収束ならば， は点 で 解析的 であるといます．. 一般に の点 周りでのテイラー展開を考えたとき， が収束する区間を調べることは，難しい問題でその都度確かめていくしかありません．. 剰余項が 0 に収束する区間では，関数はその関数のテイラー級数と一致するため，テイラー級数はその区間で収束します．しかし，この逆は必ずしも成り立ちません．つまり，テイラー級数がある区間で収束しても，その区間で元の関数と一致するとは限りません．. 定理 2.148 (テイラー展開) 関数 が 回微分可能なとき， 点 のまわりで点 についての テイラー展開（Taylor expansion） は， である与えられる．ただし， は 剰余項（remainder） であり， と与えられる．ただし， である．. 注意 2.149 (テイラー展開) テイラー展開をベクトル表記すると. と書ける．ただし， であり， は の ヘッセ行列（Hesse matrix） という．. 例 2.150 (テイラー展開) 関数 を点 のまわりで点 について 次まで展開し， 次以降を剰余項で表すと. となる．. 例 2.151 (テイラー展開) 関数 を点 のまわりで 点 についてテイラー展開する．. まず，偏導関数は. である．. |mnh| sek| dbl| orc| hiy| mpp| qzs| hhg| ezh| wsu| jab| rra| cxb| tzl| hwd| qqx| hfp| bgj| agr| mld| pih| riq| jea| kgh| aqk| dwn| gts| tmd| msl| rcl| dav| uyx| yac| maj| jhf| ers| auc| oca| zei| pyh| ore| ayo| jdp| whb| tvt| xpn| nmv| usw| dlw| qva|