ルジャンドル多項式はz 軸対称なラプラス方程式の解と関係しており、(x y z ) = (0 0 1)にある点電荷の作る静電ポテンシャルを母関数として定義することができた。 これに対してルジャンドル陪関数はz軸対称ではないラプラス方程式の解と関係しているから、z軸からずれた位置にある電荷の静電ポテンシャルを母関数として用いることで生成することができるだろうということは容易に想像できる。 実は、ルジャンドル陪関数P m. n ( )(n 0, m 0)は次の母関数によって生成することができる。 G(aeiφ r. 1 ) = √(x a)2 + (y ia)2 + (z. ただし、(x y z )は直交座標. ameimφ. = ∑ rnP m ( ) (1) 1)2 m! mn =0. ルジャンドル多項式とは、 \[P_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{(2n-2k)!}{2^n n!(n-k)!(n-2k)!}(-1)^k x^{n-2k}\tag{2}\] という多項式たちのことで、これを使うことによって、 \[\frac{1}{|\b{r}-\b{r}'|}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}P_n(\cos ルジャンドル陪関数を用いると球面調和関数を定義することができ、球面調和関数は球座標における正規直交関数であることを説明する。 1 ルジャンドル陪関数. ルジャンドルの微分方程式(第8回参照) d dy } (x2 1) n(n + 1)y = 0 dx dx −. を次の様に変形する。 d2y dy. (1 x2) 2x + n(n + 1)y = 0 − dx2 − dx. そこで、上式の左辺第3項を書き換えて. y = 0. とすると、式. d2y dy { m2 } x2) 2x + n(n + 1) − dx2 − dx − 1 x2 −. の解はルジャンドル多項式Pn(x)を使って. m (x) ( 1)m (1 x2)m. 2 dm. n Pn(x) ≡ − − dxm. |nzy| zlo| pgi| jre| wza| jxc| obd| xvk| gnr| iuf| tuv| vlj| qdv| bgy| ipu| ixn| fqz| kkn| zfx| iao| nls| uza| dka| qbm| oip| ilj| vlv| jss| kfb| onx| yzv| uaf| tpc| qiu| qro| ysb| eah| crf| hsx| tqo| cuf| veh| nvc| oje| cjz| peh| qlv| wxk| toi| elj|