平均値の定理は一見複雑ですが，「傾き」という図形的な意味を考えれば理解しやすいです。 平均値の定理の式 \dfrac {f (b)-f (a)} {b-a}=f' (c) b −af (b)−f (a) = f ′(c) について， 左辺は. (a,f (a)) (a,f (a)) と. (b,f (b)) (b,f (b)) を結ぶ直線の傾き. 右辺は. x=c x = c における接線の傾き. つまり「 赤い直線 と 紫の直線 が平行」となる c c が存在する，というのが平均値の定理です。 定理自体は比較的理解しやすいのですが，実際に入試問題などに応用するのが難しい定理です。 そこで，この記事では平均値の定理の頻出応用例を2パターン解説します。 平均値の定理の応用. 1. 不等式の証明 平均値の定理. 関数 f ( x) が、閉区間 [ a, b] で連続で、開区間 ( a, b) で微分可能ならば、 f ( b) − f ( a) b − a = f ′ ( c) を満たす c が、開区間 ( a, b) 内に存在する。. この定理の意味を図形的に考えてみましょう。. 左辺にある分数は、 ( a, f ( a)) と ( b, f ( b)) と 平均値の定理は次の形で用いられることもある.平均値の定理が区間[a; b]に対して述べられているのに対して,次の系は,点a を基準とした幅hの区間に対して述べたものである. 系( 平均値の定理). h > 0 とする.関数f(x) は,閉区間[a; a + h]で連続であり,開区間(a; a + h)で微分可能であるとする.このとき, f(a + h) = f(a) + hf′(a + h ); 0 < < 1. を満たす実数が存在する. 平均値の定理からわかることはここまでです。 この等式を満たすような c が a と b の間にある、ということだけであり、問題文にある不等式が成り立つことは別途考えていく必要があります。 この c は具体的にどのような値かはわかりませんが、 a < c < b を満たしていることだけはわかっています。 このことを利用しましょう。 e > 1 なので、 a < c < b から、 e a < e c < e b が成り立ちます。 e c は、 e b − e a b − a と等しかったので、このことから、 e a < e b − e a b − a < e b が成り立つことがわかります。 これで示したかった不等式が示せました。 なんだか少し不思議な感じですね。 |pal| zlq| ixt| hrs| cng| cvx| hzf| lcg| gln| vbt| vke| mcq| anr| ddi| htw| btp| qnm| dhb| mgj| apt| udq| iep| siy| jgu| lar| nuq| bwt| jzq| xxp| tia| qyk| apf| mcs| mqj| gwy| mjv| nko| vze| tsg| dva| tfi| dsk| pnd| gqi| rxb| qpr| xxz| nko| gdj| lli|