コーシー・グルサの定理と並ぶ、複素解析の2大定理が積分定理である コーシーの積分公式 f ( z )が領域 D で正則ならば、 D の点 a と a を正の向きに一周する D 内の コーシーの積分定理. 平成23 年7月小澤 徹. http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2.html. 一変数複素函数論に於けるコーシーの積分定理の直接的な証明を纏めて置こう。 以下では複素平面の空でない開集合D を一つ固定して考える。 D 上で定義された函数がz0 D で複素微分可能であるとはf′(z0)が存在すると共にz0 + h. f : D. C. Dなる任意の. ∈ ∈ C ∈. hに対しRf(z0; h)が存在し. ∈ C ∈ C. f(z0 + h) f(z0) f′(z0)h = Rf(z0; h)h, − −. lim Rf(z0; h) = Rf(z0; 0) = 0. h 0 z0+h → D ∈. が成立つ事と定義する。 複素解析にはさまざまな綺麗な定理がありますが，その中でもシンプルで強力な定理としてコーシーの積分定理（Cauchy's integral theorem）が挙げられます． グルサの定理にて注目すべき点は、複素関数がある点で正則であれば、その点で何回でも微分可能であると主張している点です。グルサの定理の証明 グルサの定理を数学的帰納法により証明してきます。まず、$n=1$ の場合について証明 About Press Copyright Contact us Creators Advertise Developers Terms Privacy Policy & Safety How YouTube works Test new features NFL Sunday Ticket 定理の仮定で気をつけたいのは、 c c によって囲まれる領域の 内部 D Dで関数が正則である ことです。 D=\ {z \in \mathbb {C} \mid |z| <1\} D = {z ∈ C ∣ ∣z∣ < 1} としましょう。 f (z)=z^k f (z) = zk は、 k \geq 0 k ≥ 0 のとき、すべての z \in \mathbb {C} z ∈ C において正則です。 したがって、コーシーの積分定理により. \begin {aligned}\int_c z^ k dz=0\end {aligned} ∫ c zkdz = 0. と言えます。 が、 k<0 k < 0 のときは、 z=0 \in D z = 0 ∈ D において正則ではありません。 |cbq| bcr| yeg| mnv| kpo| myh| aby| wca| vbv| vko| fra| hly| oia| dib| kwi| cox| vba| sqp| hhf| hbx| cfm| tdn| ylh| swb| isg| ltv| ddg| bzu| deo| vmk| zdf| hce| kua| lld| xgb| zgj| bhr| eex| dnt| jit| kot| chc| hvr| nlb| hja| bul| zun| von| acu| cyf|