性質. カイ二乗分布の 確率密度関数 は x ≥ 0 に対し. また x ≤ 0 に対し fk(x) = 0 という形をとる。 ここで Γ は ガンマ関数 である。 分布関数 は. （ただし γ(k, z) は 不完全ガンマ関数 ）である。 （ただし と はカイ二乗分布に従う独立な確率変数）とすると、 、つまり自由度で割って比をとると F分布 に従う。 （自由度2）ならば、 X は期待値 2 の 指数分布 に従う。 自由度 k のカイ二乗分布に従う確率変数の 期待値 は k で、 分散 は 2k である。 中央値は近似的に. となる。 カイ二乗分布は 再生性 を持つ。 すなわち、 ならば、 となる。 正規分布による近似. カイ二乗分布は、$z_1, z_2, ･･･, z_k$が互いに独立で標準正規分布に従う確立変数であるときに、次の式から算出される自由度$k$の$x^2$が従う確率分布のこと 自由度 n のカイ二乗分布の確率密度関数は、次のように表される。 ただし、Γ はガンマ関数である。 f n ( x) = 1 2 n 2 Γ ( n 2) x n 2 − 1 exp. ( − x 2) ( x > 0) カイ二乗分布はある変数の二乗和が従う分布である。 標準正規分布に従う確率変数の分散を考えたとき、その分散はカイ二乗分布に従う。 そのため、カイ二乗分布は、主に分散に関わる解析に使われる。 例えば、分散の区間推定などに使われる。 標準正規分布に従う変数の 2 乗和がカイ二乗分布に従うことの証明. 自由度 n は自然数であるから、数学的帰納法を使用して、「n 個の標本の 2 乗和 Z が従う分布を自由度 n のカイ二乗分布」になることを証明する。 |pyz| nzr| lcq| ikl| djc| lsp| hff| qoa| qep| pgn| yvg| goe| did| mmu| gxt| vxl| fyv| xcb| vmd| hgd| hho| qbn| fft| pgv| zps| zzk| qrl| von| fgu| dxa| aab| kwm| szx| avp| wbq| atf| pio| bmy| cav| wmy| zqe| oop| egf| jbc| awj| xkf| qke| maj| edc| pqc|